Proven prime cofactors
of numbers of the forms
10^n + 1 and 10^n − 1
FromDigitsDateExpression (mathematically exact)
10^12611 − 112581Sep 30, 2024(10^12611−1) / 1364365306104979552817101040439
10^17193 + 110355Oct 16, 202391 · (10^11462−10^5731+1) / D521,3 / D11,3 / 6573271911379053751098633975048464359927832533
10^9736 + 19665Jul 24, 2023(10^9736+1) / 127414554941037429648145286239939106469195284723098047037717521807235313
10^14691 + 19453Oct 13, 202391 · (10^9794−10^4897+1) / D83,3 / D59,3 / 95543233335948176474184435890844681353199716770826112802117
10^13917 − 19225Sep 9, 2024(10^9278+10^4639+1) / 155791258534161207680682613894702422837812665874936877
10^8209 − 18162Aug 14, 2023(10^8209−1) / 387027639720180030671334569044632439433106097191
10^7871 − 17351Sep 1, 20239 · C463,17 / (10^17−1) / 519894821582622551617789763504983559487853
10^17450 + 16929Oct 13, 2023B873 / 2241716371215012394459950804525216055134259097674001
10^7337 − 16125Aug 31, 2023(10^11−1) · C667,11 / C29,11 / C23,11 / 2459587362265548338880442635101315637
10^16150 + 15721Sep 26, 202399004980069800499001 · A808 / B48 / B43 / 2123222075537529366149482323524714527601
10^9333 + 15691Aug 31, 2023999001 · (10^6222−10^3111+1) / D183,3 / D51,3 / 6044942727779144876845284825747930504069348803477678023951439948689009
10^7565 + 15579Jul 13, 20239091 · D1513,5 / D89,5 / D17,5 / 544168252889194357912197505365128821814457903492376171
10^15890 + 15397Oct 11, 2023A795 / B114 / 4211444349754349932180279294422518924308595774425481
10^5587 − 15333Jul 8, 20239 · C151,37 / (10^37−1) / 21812314726751445879584203746976757481394027080090123090710835090893
10^5387 − 15266Jul 16, 2023(10^5387−1) / 35758361120238286296955658075781822272308362560102831996163603890175134847168697546723160119470773141515244078907634316763
10^6275 − 14936Dec 9, 2023C1255,5 / C5,5 / 23121920617304476506542868657986769439196273737449665507828388151
10^5009 − 14933Jul 20, 2023(10^5009−1) / 15958226783422218436420162301509030608166735905022349421575916043441367034747
10^5726 + 14825Dec 24, 2023D818,7 / 547371756031537052295625700407474232103225803962681670734121759986571069341466316329
10^7503 + 14755Aug 30, 202391 · (10^5002−10^2501+1) / D61,3 / D41,3 / 928041865818872172269640654493754406088745407
10^6981 + 14230Aug 30, 202391 · (10^4654−10^2327+1) / D179,3 / D13,3 / 8577537833721208258437435856585996879133917
10^5195 + 14113Oct 8, 2023D1039,5 / 29790165881370054051174862609567333433578451
10^5367 + 13549Oct 8, 2023(10^3578−10^1789+1) / 237877908544064881785863177371
10^5139 + 13371Dec 6, 2013(10^3426−10^1713+1) / 31680812614988870603614117000543939651213148400456786211
10^7550 + 12943Aug 15, 2023B378 / 405061130479877861289812868069565059711989009708320486901776171071878363368001
10^2942 + 12885Oct 9, 2023(10^2942+1) / 3468561481292305322732115989794806985803274646710300721921
10^10050 + 12592Dec 16, 2023A503 / A168 / 92324451902583190267331881490478527886039816924248468403613097470611304150802275482188101
10^3963 + 12579Aug 29, 2023(10^2642−10^1321+1) / 2140678625278364922181026263981069630944358828123985539311705441
10^5990 + 12355Aug 30, 2023A300 / 248484851938554257097354195919859145549341
10^2453 − 12163Sep 9, 20249 · (10^2453−1) / (10^223−1) / (10^11−1) / 5129337941570220915834482952864279885533502777195040484557
Ak = ( ( 102k−1 − 10k + 3 ) · ( 104k−2 + 102k−1 ) − 10k + 2 ) · ( 102k−1 + 1 ) − 1
Bk = ( ( 102k−1 + 10k + 3 ) · ( 104k−2 + 102k−1 ) + 10k + 2 ) · ( 102k−1 + 1 ) − 1
Ck,m = ( 10km − 1) / (10k − 1)
Dk,m = ( 10km + 1) / (10k + 1)
September 30, 2024
Alfred Reich