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Übungen und Aufgaben für die Jahrgangsstufe 12

Art Datum Thema
1. Übung 23.11.2015 Krümmungsverhalten und Integralrechnung
Delta 12 94/10 7.1.2016 Bernoullikette
Delta 12 94/11 7.1.2016 Bernoullikette
Delta 12 100/9 7.1.2016 Bernoullikette (Rechnen mit Tabellen zur Binomialverteilung)
Delta 12 101/10 9.1.2016 Bernoullikette (Rechnen mit Tabellen zur Binomialverteilung)
Delta 12 102/1 9.1.2016 Testen von Hypothesen - Bernoullikette - Rechnen mit Tabellen zur Binomialverteilung
2. Übung 12.1.2016 Zur Wiederholung gedachte Aufgaben zum Thema Zufallsgröße und Erwartungswert
Abiturvorbereitung 12.1.2016 Einfache Aufgaben zur Vorbereitung auf das Abitur
3. Übung 18.1.2016 Ganz einfache Aufgaben zum Thema Testen von Hypothesen
4. Übung 18.1.2016 Standardaufgaben zum Thema Testen von Hypothesen
Abiturvorbereitung 20.1.2016 Zwei nicht ganz einfache Aufgaben zur Vorbereitung auf das Abitur
Abiturvorbereitung 26.1.2016 Aufgaben zu Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastik
Abiturvorbereitung 4.2.2016 Einfache Aufgaben zu Wahrscheinlichkeitsrechnung/Stochastik
5. Übung 7.3.2016 Das Volumen eines Spats
Aufgaben 15.3.2016 Aufgaben zur Geometrie

Neu

Ziehen mit einem Griff $=$ Ziehen ohne Zurücklegen

In einer Urne liegen $N$ Kugeln, davon genau $R$ rote.
Mit einem Griff werden $n$ Kugeln gezogen.
Wenn $X:$ Anzahl der gezogenen roten Kugeln, dann gilt: $$P(X=r)=\frac{\binom{R}{r}\cdot\binom{N-R}{n-r}}{\binom{N}{n}}$$ Wir wollen nun zeigen, dass wir zum gleichen Ergebnis kommen, wenn wir die $n$ Kugeln einzeln, nacheinander, ohne Zurücklegen ziehen.

Vorsichtshalber fügen wir ein konkretes Beispiel an.

In einer Urne liegen $N=10$ Kugeln, davon genau $R=4$ rote. Es werden $n=5$ Kugeln mit einem Griff gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau $r=3$ rote Kugeln gezogen werden. \begin{align*}P(X=3)&=\frac{\binom{4}{3}\cdot\binom{6}{2}}{\binom{10}{5}}\\[2mm] &=\frac{4\cdot15}{252}\\[2mm] &=\frac{5}{21} \end{align*} Mit dem Modell Ziehen von fünf Kugeln ohne Zurücklegen erhalten wir: \begin{align*} P(X=3)&=\binom{5}{3}\cdot\frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9}\cdot\frac{2}{8}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{5}{6}\\[2mm] &=10\cdot\frac{1}{42}\\[2mm] &=\frac{5}{21} \end{align*}

Und noch eine Aufgabe

Fritz hat sechs Freikarten für einen Film. Er verlost fünf Karten unter seinen zwölf Freunden (fünf Mädchen und sieben Buben). Mit welcher Wahrscheinlichkeit wählt er
  1. nur Mädchen,
  2. nur Buben,
  3. vier Buben und ein Mädchen,
  4. seine Freundinnen Anna und Berta?
Gib für jeden dieser vier Fälle ein jeweils geeignetes Urnenexperiment an.

Ein Nachtrag zur so genannten Ereignisalgebra

Wenn $\Omega$ ein Ergebnisraum und $A,B\subset\Omega$ Ereignisse sind, so lassen sich mit den Symbolen $\cap$ und $\cup$ Verknüpfungen der Ereignisse $A$ und $B$ darstellen.

SprechweiseTerm im mathematischen Modell
Ereignis $A$ und Ereignis $B$
Beide Ereignisse
Sowohl $A$ als auch $B$
$A\cap B$
Ereignis $A$ oder Ereignis $B$
Mindestens eines der Ereignisse
$A\cup B$
Keines der Ereignisse
Weder $A$ noch $B$
$\overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cup B}$
Höchstens eines der Ereignisse
Nicht beide Ereignisse
$\overline{A}\cup\overline{B}=\overline{A\cap B}$
Genau eines der Ereignisse
Entweder $A$ oder $B$
$(\overline{A}\cap B)\cup(A\cap\overline{B})$

Gelegentlich sind folgende Rechenregeln nützlich: In diesem Zusammenhang gibt es noch zwei Sprechweisen.