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Übungen und Aufgaben für die Jahrgangsstufe 11

Art Datum Thema
1. Übung 27.11.2015 Fortführung der Funktionenlehre und Differentialrechnung
2. Übung 3.12.2015 Fortführung der Funktionenlehre und Differentialrechnung
Delta 11 89/5a 15.12.2015 Das dreidimensionale Koordinatensystem
Delta 11 111/9 14.1.2016 Das Skalarprodukt - Innenwinkel von Dreiecken
3. Übung 16.1.2016 Flächeninhalt (von Dreiecken und Parallelogrammen) - Volumen (von Pyramiden)
4. Übung 24.2.2016 \(f\) und \(f^\prime\) mit Termen, die \(e^x\) enthalten
5. Übung 10.3.2016 \(f\) und \(f^\prime\) mit Termen, die \(\ln x\) enthalten
6. Übung 10.3.2016 \(f\) und \(f^\prime\) mit Termen, die \(e^x\) enthalten
7. Übung 11.3.2016 Grenzwerte von Termen, die \(e^x\) enthalten
8. Übung 10.4.2016 $\ln x$ und $e^x$ - Grenzwerte, Funktionen und Graphen

Symmetrieverhalten von Graphen

Gegeben denken wir uns die Funktion $f:x\mapsto f(x)$ mit dem Definitionsbereich $\mathbb{D}_f$ (und ihrem Graphen $G_f$).
  1. $G_f$ heißt achsensymmetrisch zur Geraden $x=0$, wenn mit $x\in\mathbb{D}_f$ auch $-x\in\mathbb{D}_f$ und$$f(-x)=f(x)\quad\text{für alle $x\in\mathbb{D}_f$ gilt.}$$
  2. $G_f$ ist also nicht achsensymmetrisch zu $x=0$, wenn es mindestens ein $x$ gibt mit $x\in\mathbb{D}_f$ und $-x\notin\mathbb{D}_f$ oder wenn es mindestens ein $x\in\mathbb{D}_f$ gibt mit $-x\in\mathbb{D}_f$ und $f(x)\neq f(-x)$.

    Hinweis: Um korrekt nachzuweisen (und andernfalls ist es kein Nachweisen), dass $G_f$ nicht achsensymmetrisch zu $x=0$ ist, muss also so ein $x$ konkret angegeben werden.

  3. $G_f$ heißt punktsymmetrisch zum Punkt $(0\,|\,0)$, wenn mit $x\in\mathbb{D}_f$ auch $-x\in\mathbb{D}_f$ und$$f(-x)=-f(x)\quad\text{für alle $x\in\mathbb{D}_f$ gilt.}$$
  4. $G_f$ ist also nicht punktsymmetrisch zu $(0\,|\,0)$, wenn es mindestens ein $x$ gibt mit $x\in\mathbb{D}_f$ und $-x\notin\mathbb{D}_f$ oder wenn es mindestens ein $x\in\mathbb{D}_f$ gibt mit $-x\in\mathbb{D}_f$ und $f(-x)\ne-f(x)$.

    Hinweis: Um korrekt nachzuweisen (und andernfalls ist es kein Nachweisen), dass $G_f$ nicht punktsymmetrisch zu $(0\,|\,0)$ ist, muss also so ein $x$ konkret angegeben werden.

  5. Um zum Beispiel nachzuweisen, dass der Graph von $f$ mit $f(x)=2^x+5x^2$ und $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}$ weder achsensymmetrisch zur $x$-Achse noch punktymmetrisch zum Ursprung ist, genügt es,$$f(-1)=5,\!5\ne7=f(1)\quad\text{und}\quad f(-1)=5,\!5\ne-7=-f(1)$$anzugeben. Allerdings sollte dies auch getan werden.