\(\sqrt{2}\) ist irrational. Ein einfacher Beweis.

\(\spadesuit\quad\)Angenommen, \(\sqrt{2}\) wäre rational.

Dann gäbe es natürliche Zahlen \(a,b\) mit \begin{align}\frac{a}{b}=\sqrt{2}.\end{align} Dann gäbe es natürliche Zahlen \(a,b\) mit \begin{align}a=b\cdot\sqrt{2}.\end{align} Dann gäbe es natürliche Zahlen \(a,b\) mit \begin{align}a^2=b^2\cdot2.\end{align} Nun denken wir uns \(a\) und damit auch \(a^2\) in Primfaktoren zerlegt.

Auf jeden Fall muss die Primfaktorzerlegung von \(a^2\) eine gerade Anzahl von Zweien enthalten (wir denken daran, dass Null eine gerade ganze Zahl ist).

Genau so denken wir uns \(b\) und damit auch \(b^2\) in Primfaktoren zerlegt.

Auf jeden Fall muss dann auch die Primfaktorzerlegung von \(b^2\) eine gerade Anzahl von Zweien enthalten (wir denken auch hier daran, dass Null eine gerade ganze Zahl ist).

Dann aber enthält die Primfaktorzerlegung von \(2b^2\) eine ungerade Anzahl von Zweien.

Dies aber ist ein Widerspruch zu dem Fundamentalsatz der Arithmetik, dass die Zerlegung in Primfaktoren (bis auf die Reihenfolge) eindeutig ist.

Damit führt die Annahme \(\spadesuit\) zu einem Widerspruch, also muss die Annahme \(\spadesuit\) falsch sein.

Also ist \(\sqrt{2}\) irrational.