Drei gekreuzte Tori
© 2016 Alfred Reich

Problem der Woche

Fritz entnimmt einem Schafkopfblatt zwei Ober und zwei Unter, mischt sie und legt sie verdeckt auf den Tisch. Peter zieht eine Karte. Wenn er einen Ober zieht, hat er gewonnen und das Kartenspiel ist beendet. Wenn er keinen Ober zieht, nimmt Fritz alle vier Karten, mischt sie und legt sie verdeckt auf den Tisch. Das Spiel beginnt von vorne. Wie oft muss Peter im Mittel ziehen, bis er gewonnen hat?

Problem der Woche (4)

Ein (veralteter) Computer kann nur Produkte aus zwei Faktoren berechnen. Jedes Produkt aus mehr als zwei Faktoren muss sein Programmierer auf Produkte aus zwei Faktoren zurückführen, was dieser formal durch geeignetes Klammersetzen macht. Auf wie viele Arten kann man bei einem Produkt aus $n$ Faktoren bei gegebener Reihenfolge der Faktoren geeignete Klammern setzen?

Hinweise:

Lösung: Es gibt $\frac{1}{n}\cdot\binom{2n-2}{n-1}$ Möglichkeiten.

Problem der Woche (3)

Auf wie viele Arten lässt sich die natürliche Zahl $2310$ als Produkt dreier (natürlicher) Teiler ($\ne1$) darstellen, wenn die Reihenfolge der Teiler nicht berücksichtigt wird?

In Primfaktoren zerlegt, gilt:$$2310=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11.$$ Wenn wir also $2310$ als Produkt aus drei Teilern darstellen wollen, haben wir grundsätzlich zwei Möglichkeiten.

1. Möglichkeit:
Der erste Teiler ist einer der fünf Primfaktoren, der zweite einer der verbleibenden vier und der dritte Teiler ist das Produkt der letzten drei Primfaktoren.

Dafür gibt es $$5\cdot4\cdot1=20$$Möglichkeiten.

2. Möglichkeit:
Der erste Teiler ist wieder einer der fünf Primfaktoren, der zweite ist das Produkt aus zwei der verbleibenden vier und der dritte ist das Produkt der jetzt letzten zwei Primfaktoren.

Dafür gibt es$$5\cdot\binom{4}{2}\cdot1=5\cdot6\cdot1=30$$Möglichkeiten.

Insgesamt gibt es also $50$ verschiedene Arten.

Problem der Woche (2)

Auf wie viele unterscheidbare Arten lassen sich vier (nicht unterscheidbare) rote und vier (nicht unterscheidbare) blaue Kugeln auf die acht Ecken eines Würfels verteilen?

$7$

Problem der Woche (1)

Was haben die 26 Länder USA, Volksrepublik China, Republik Korea, Demokratische Volksrepublik Korea, Vietnam, Australien, Islamische Republik Iran, Russland, Kanada, Singapur, Ukraine, Thailand, Rumänien, Frankreich, Kroatien, Peru, Polen, Taiwan, Mexiko, Türkei, Ungarn, Brasilien, Japan, Vereinigtes Königreich, Kasachstan und Armenien gemeinsam?

Alle diese Länder waren auf der International Mathematical Olympiad 2015 vor Deutschland.